关系模型与完整性

第二讲。关系模型是本课的数学地基——"关系"不是日常说的关系，而是集合论里的笛卡尔积子集。学完这讲，键的判定和三类完整性约束不再是背诵题。
先记住一句话：候选键是"能唯一标识元组的最小属性集"，主键是"被选中的一个候选键"，外键是"指向别家主键的自家属性"。

一、关系的严格定义

设 D₁, D₂, …, Dₙ 为 n 个域（属性的取值范围），D₁×D₂×…×Dₙ 的笛卡尔积的子集称为关系（relation），记作 R(D₁, D₂, …, Dₙ)。

拆成人话：

术语	对应表里的	数学身份
关系 relation	一张二维表	笛卡尔积的子集
元组 tuple	一行	笛卡尔积的一个元素
属性 attribute	一列	域的名字
域 domain	列的取值范围	非空原子值集合
候选码/候选键	能唯一标识行的最小列集	无冗余的标识集合
分量	某行某列的值	单个值

两个必须背下的性质：候选键具有最小性（去掉任何一个属性就不再唯一）；主属性是所有候选键里的属性，其余叫非主属性。

二、键的判定：一道例题走三遍

设有表 SC(sno, cno, tname, grade)（学号、课程号、教师、成绩），语义：每门课只由一位教师开，一个学生每门课只有一条成绩记录。

哪些是候选键？只有 (sno, cno)：单凭 sno 不能区分不同课程，单凭 cno 不能区分不同学生——合起来才唯一
(sno, cno, tname) 是候选键吗？不是——包含 (sno, cno) 还多出 tname，违反最小性
tname 是主属性吗？不是——它不属于任何候选键，是非主属性（这个判定第五讲判范式时还要用）

🧠 记忆锚点：先找唯一，再砍冗余，剩下的才是候选键。

选定一个候选键作主键（primary key），其余候选键叫备用键。主键的属性值不允许 NULL、不允许重复——这就是实体完整性的要求。

三、三类完整性约束

约束	针对谁	规则	例子
实体完整性	主键	主属性非空、不重复	两个学生不能同号；sno 不能是 NULL
参照完整性	外键	外键值要么为 NULL，要么必须存在于被参照表的主键中	SC 的 sno 必须在 student 表里存在（否则是幽灵学生）
用户定义完整性	具体业务	用户根据语义自行设定	sage BETWEEN 14 AND 45；ssex IN ('男','女')

**外键（foreign key）**的要点：设 F 是表 R 的属性集，F 与表 S 的主键对应，则 F 是 R 的外键，R 是参照关系，S 是被参照关系。两个经典追问：

为什么外键可以取 NULL？ NULL 表示"尚未确定"，比如成绩表先登记了课程、学生还没选——语义上允许
删除被参照行时怎么办？ 三种策略：RESTRICT（拒绝删除，有成绩记录的学生不许删）、CASCADE（级联删除，学生删了成绩跟着删）、SET NULL（外键置空）。SQL 里建外键时用 ON DELETE 指定

四、关系代数：五种基本运算

关系代数是 SQL 的数学原型，考试常考"用关系代数写出查询"。五个基本运算：

text

选择 σ（selection）：  σ_sage>18(student)      → 挑行（水平方向切）
投影 π（projection）： π_sname,sage(student)   → 挑列（垂直方向切，自动去重）
并 ∪、差 −：          两个同构关系的行集合运算
笛卡尔积 ×：           两表逐行配对（结果列数相加、行数相乘）

其余运算都可用基本运算导出，最常用的是交 ∩（R ∩ S = R − (R − S)）和连接 θ-join（笛卡尔积 + 选择）。

连接的三个考点：

连接	定义	例子
θ 连接	R ×ₐθᵦ S，按条件筛配对	R.B > S.B
等值连接	θ 取等号的特例	R.sno = S.sno
自然连接	等值连接后去掉重复列，同名属性自动匹配	student ⋈ SC

⚠️ 等值连接和自然连接的区别是高频选择题：自然连接去掉了重复列，等值连接不去；且自然连接要求两表有同名属性。

五、动手：把完整性约束建进表里

💡 动手实验：在 course 库里建 student、course、sc 三张表，把本讲全部约束写进 DDL：

sql

CREATE TABLE student (
  sno   CHAR(10) PRIMARY KEY,                       -- 实体完整性
  sname VARCHAR(20) NOT NULL,
  ssex  CHAR(2)     CHECK (ssex IN ('男','女')),     -- 用户定义
  sage  INT         CHECK (sage BETWEEN 14 AND 45)
);

CREATE TABLE course (
  cno   CHAR(6) PRIMARY KEY,
  cname VARCHAR(30) NOT NULL UNIQUE,
  credit INT DEFAULT 2
);

CREATE TABLE sc (
  sno   CHAR(10),
  cno   CHAR(6),
  grade INT CHECK (grade BETWEEN 0 AND 100),
  PRIMARY KEY (sno, cno),                           -- 表级主键：复合候选键
  FOREIGN KEY (sno) REFERENCES student(sno)
    ON DELETE CASCADE                               -- 参照完整性：级联删除
);

-- 验证约束确实在工作：
INSERT INTO sc VALUES ('9999', 'C01', 90);   -- 报错！外键 9999 不在 student 中
INSERT INTO student VALUES ('2026002', '李四', '男', 200);  -- 报错！CHECK 违反

看到两条 INSERT 都被拒绝，说明完整性约束不是文档，是数据库替你执法的规则——这就是"数据库比文件强"在第二层的体现（第一层是统一查询）。

小结

关系 = 笛卡尔积的子集；元组 = 行，属性 = 列，域 = 取值范围
候选键：唯一 + 最小；主键：选中的候选键；主属性 = 候选键里的属性
三类完整性：实体（主键非空唯一）、参照（外键存在或为 NULL）、用户定义
外键删除三策略：RESTRICT / CASCADE / SET NULL
关系代数五基本：选择（行）、投影（列）、并、差、笛卡尔积；自然连接 = 等值连接 − 重复列

下一讲进入主战场：用 SQL 把这些查询全部写出来——SQL 查询。

关系模型与完整性 ​

一、关系的严格定义 ​

二、键的判定：一道例题走三遍 ​

三、三类完整性约束 ​

四、关系代数：五种基本运算 ​

五、动手：把完整性约束建进表里 ​